隨著社會的不斷發展，結構的安全性和可靠性已經成為現今我們專注的重要課題，都希望可以使材料發揮更大的潛能，減少資源的消耗。因此，開展結構或構件的塑性極限分析對于加強結構的安全性和減少成本具有重要的意義和實用價值。

1. 極限分析中的基本理論

 極限分析理論從20世紀發展至今，已經取得了許多成果。其中經典的分析理論主要是上、下限定理。

  a. 極限分析的下限定理

 假設機構或構件滿足平衡方程且處處不違反材料屈服條件的應力場稱為靜力容許場，與靜力容許場對應的荷載是極限荷載的下限，極限荷載是這些下限解中的最大者。下限定理提出了結構不發生塑性破壞的充分條件，利用它可以計算極限荷載的下限。

  b. 極限分析的上限定理

 假設結構或構件滿足幾何約束條件、能構成幾何可變機構且外荷載在其上所作的功率不小于結構內部耗散功率的結構位移速率場稱為機動容許速率場，與機動容許速率場對應的荷載就是極限荷載的上限，極限荷載是這些上限解中的最小者。上限定理提出了結構塑性破壞的充分條件，利用其可以計算極限荷載的上限。

2. 屈服條件

 對于任意的結構如果應變會隨著應力的卸除而消失就稱其為彈性狀態，若在應力卸除之后應變不能完全恢復而存在殘余變形就稱為塑性狀態。材料進入或未進人塑性狀態的分界面我們稱其為屈服面，而屈服面所對應的函數表達式就被稱為屈服條件。屈服條件就是材料從彈性狀態進入塑性狀態時應力分量之間所必須滿足的條件。這里主要介紹常用的兩種屈服條件。

  a. 最大剪應力條件（Tresca屈服條件）

  最大剪應力條件是1864年法國工程師Tresca在研究中所得出的成果。主要提出了以下假設：當最大剪應力達到某一定值k時，材料就會發生屈服。可以用如下數學式表示：

   T_max=k   （1-5)     

  在σ₁≥σ₂≥σ₃是可以寫為：

    σ₁-σ₂=2k  （1-6)

在一般情況下由于主應力的次序是未知的，所以一般 Tresca 屈服條件就表示為：

 如果是純剪切，則k=r,;而按照Tresca屈服條件，材料的剪切屈服極限與拉伸屈服極限之間存在如下關系：

  Mises 屈服條件是關于應力的函數，對于主應力已知的情況下使用起來極其方便，但它忽略了中間主應力的影響，且屈服線上有角點，在數學處理時非常困難。

 b. Mises 屈服條件

  Mises 屈服條件在應力空間的屈服面是一個垂直于偏量平面π的圓柱它可以表述為：

3. 塑性流動理論和形變理論

 a. 塑性流動理論

  塑性和彈性范圍之間的區別就是應力和應變關系是否一一對應。當材料進入塑性狀態應力應變關系曲線就是非線性的，但在某一給定的狀態下，若有一個應力增量也必然有唯一的應變增量，因此，就可以建立起應力和應變增量之間的關系，而這種用增量形式表示的材料的本構關系就稱為流動理論即增量理論。表述如下式：

 b. 塑性變形理論

  變形理論（全量理論）在本質上與非彈性變形理論極為相似，都是對廣義Hooke定律的推廣。

 全量理論的基本假設：

 c. 增量理論和全量理論的關系

 在簡單加載條件下，全量理論與增量理論的關系是一致的。增量理論比全量理論復雜，在數學計算時難度較大，但隨著目前計算機技術的發展及有限元方法的使用，增量理論的使用也是越來越廣泛。本書極限分析部分就是采用以增量理論為基礎的有限元方法確定極限荷載。

 d. 簡單加載與復雜加載

 簡單加載又稱比例加載，其特點是當荷載增加時，物體內每點的應力張量均按比例增加，在任一瞬時的各應力分量有如下式關系:

復雜加載時，某一點的應力張量各分量不按比例加載。由于只有在簡單加載或者接近簡單加載條件的情況下，流動理論和變形理論得到的結果才相差不大，因此后文計算極限荷載時采用的是簡單加載條件。